• 因果模型
  • 乘积分解法则
  • 结构因果模型
  • 因果模型图和独立性
    • 链结构
    • 分叉结构
    • 对撞结构
    • d-分离
  • 干预
    • 后门准则
    • 前门准则
  • 反事实

因果模型

因果模型是一种用于描述因果关系的模型，它可以用于预测和干预。因果模型的基本假设是，我们可以通过观察到的变量来推断未观察到的变量。

因果模型图是因果模型的一种可视化表示，它是一个有向无环图，其中节点表示变量，边表示因果关系，从一个变量指向另一个变量的边表示前者是后者的原因。

对因果模型图进行分析时：

1. 对于一个节点而言，它的所有父节点都是它的直接原因，它的所有子节点都是它的直接结果；它的所有祖先节点都是它的间接原因，它的所有后代节点都是它的间接结果。
2. 对于两个节点而言，如果它们通过一条边直接相连，那么它们互为因果；如果它们之间存在至少一条路径，那么通过引入更多的中间节点，它们可能互为因果。
3. 对于三个节点而言，其中一个节点位于连接另外两个节点的路径上，那么通过控制该中间节点，可以控制另外两个节点之间的关系。

乘积分解法则

对于链结构而言，我们可以将联合概率分解为条件概率的乘积，即乘积分解法则。

$$P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=1}^{n}P(x_i|pa(x_i))$$

其中$pa(x_i)$表示$x_i$的父节点。

考虑一个简单的例子，假设有三个变量$X$、$Y$和$Z$，它们之间的关系为$X\to Y\to Z$，那么有

$$P(X,Y,Z)=P(X)P(Y|X)P(Z|Y)$$

结构因果模型

结构因果模型用于描述数据的产生机制，包括：

1. 外生变量集合$U$，它们是模型中的根节点，它们的值是由外部环境决定的，不依赖于模型中的其他变量。
2. 内生变量集合$V$，它们是模型中的非根节点，它们的值是由模型中的其他变量决定的，即至少依赖于一个父节点。
3. 确定内生变量取值的函数集合$F$，它们是模型中的边，它们的值是由父节点的值决定的，即它们是父节点的函数。

$$V=F\{U\}$$

因果模型图和独立性

以三个邻接的节点$X$、$Y$和$Z$为例，将三个节点直接相连，考虑边的方向，有三种情况：

1. 链结构：$X\to Y\to Z$。
2. 分叉结构：$X\leftarrow Y\to Z$。
3. 对撞结构：$X\to Y\leftarrow Z$；也叫共因结构。

在独立性分析中，我们关注的是通过控制中间节点，是否可以推断出两个节点的独立性或依赖关系。通过下文的分析，我们可以得到如下结论：链结构和分叉结构中的独立性判断是类似的，而对撞结构中的独立性判断与它们不同。

链结构

在链结构中

• $$X=F_X\{U_X\}$$
• $$Y=F_Y\{X,U_Y\}$$
• $$Z=F_Z\{Y,U_Z\}$$

给定$Y$，$X$和$Z$只受外生变量影响，故$X$和$Z$独立，记作$X\perp Z|Y$

graph LR
    id1["U{X}"] --> X
    X --> Y
    id2["U{Y}"] --> Y
    Y --> Z
    id3["U{Z}"] --> Z

分叉结构

在分叉结构中

• $$X=F_X\{U_X\}$$
• $$Y=F_Y\{X,U_Y\}$$
• $$Z=F_Z\{X,U_Z\}$$

给定$X$，$Y$和$Z$只受外生变量影响，故$Y$和$Z$独立，记作$Y\perp Z|X$

graph LR
    id1["U{X}"] --> X
    id2["U{Y}"] --> Y
    X --> Y
    X --> Z
    id3["U{Z}"] --> Z

对撞结构

在对撞结构中

• $$X=F_X\{U_X\}$$
• $$Y=F_Y\{U_Y\}$$
• $$Z=F_Z\{X,Y,U_Z\}$$

不给定额外信息，$X$和$Y$独立；给定$Z$，$X$和$Y$的关系内含于$Z=F_Z\{X,Y,U_Z\}$，故$X$和$Y$不独立，记作$X\perp ̸Y|Z$

graph LR
    id1["U{X}"] --> X
    X --> Z
    id2["U{Z}"] --> Z
    id3["U{Y}"] --> Y
    Y --> Z

d-分离

$d$-分离是一种判断两个节点是否独立的方法，它是基于因果模型图的有向路径的概念的。在前文的讨论中，我们通过控制中间结点说明：控制中间节点后的链结构和分叉结构中的两个节点独立，而对撞结构中的两个节点不独立。

此处我们给出阻断的概念：一条路径会被一组节点$Z$阻断，当且仅当：

1. 该路径中包含链结构或分叉结构，且该结构中的中间节点在$Z$中。
2. 该路径中包含对撞结构，且该结构中的中间节点不在$Z$中。

我们可以将阻断的概念理解为：阻断了因果关系的传递，使得节点互相独立。如果一组节点$Z$阻断了节点$X$和$Y$之间的所有路径，那么$X$和$Y$在给定$Z$的条件下是$d$-分离的，记作$X{\perp }_{d}Y|Z$或$X\perp Y|Z$。

干预

干预是将变量固定为某个值，限制改变量的变化，等价于在因果模型中去除所有指向该变量的边。干预后的因果模型图称为干预模型图。

干预与条件的区别在于干预改变了系统本身，而条件只是改变了系统的观测。一般用条件概率表示因果效应

$$\begin{array}{rl}\text{干预 }& P(Y=y|do(X=x))\\ \text{条件 }& P(Y=y|X=x)\end{array}$$

在只有观测数据时，我们只能从数据中估计干预操作的效果，称之为校正。校正公式描述了从观测数据中估计干预后的目标变量$Y$的概率分布

$$\begin{array}{rl}P(Y=y|do(X=x))& =P(Y=y|X=x)\\ \text{全概公式 }& =\sum P(Y=y|X=x,Pa(X)=z)P(Pa(X)=z|X=x)\\ \text{独立性 }& =\sum P(Y=y|X=x,Pa(X)=z)P(Pa(X)=z)\end{array}$$

这里的$Pa(X)$表示$X$的父节点集合。

后门准则

后门准则应用于干预中$X$的父节点集合$Pa(X)$不可观测的情况，即试图找出一个可观测的变量集合$Z$，使得$Z$阻断了$X$和$Y$之间的所有伪因果路径。

给定因果模型图中的一对有序变量$(X,Y)$和一组变量$Z$，如果满足以下条件：

1. $Z$阻断了$X$和$Y$之间的每条含有指向$X$的路径。（阻断$X$和$Y$之间的所有伪因果/后门路径）
2. $Z$中没有$X$的后代节点。（保持$X$到$Y$的因果路径不变）

则称$Z$满足关于$(X,Y)$的后门准则。此时$Z$可以替代$X$的父节点集合$Pa(X)$，用于校正$X$的干预效果，即后门校正

$$P(Y=y|do(X=x))=\sum _{z}P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)$$

前门准则

前门准则通过$X$到$Y$的中介变量估计因果效应。考虑因果模型图中的一对有序变量$(X,Y)$和一组变量$Z$，如果满足以下条件：

1. $Z$切断了所有从$X$到$Y$的路径。（阻断$X$和$Y$之间的所有因果路径）
2. $X$到$Z$没有后门路径。（保持$X$到$Z$的因果路径不变）
3. 所有$Z$到$Y$的后门路径都被$X$阻断。（保持$Z$到$Y$的因果路径不变）

则称$Z$满足关于$(X,Y)$的前门准则。此时$Z$可以替代$X$的父节点集合$Pa(X)$和后门校正来校正$X$的干预效果，即前门校正

$$\begin{array}{rl}P(Y=y|do(X=x))& =\sum _{z}P(Z=z|X=x)\sum _{x^{\prime }}P(Y=y|X=x^{\prime },Z=z)P(X=x^{\prime }|Z=z)\\ & =\sum _z\underset{X\to Z}{\underbrace{P(Z=z|X=x)}}\underset{X\text{后门校正}Z\to Y}{\underbrace{\sum _{x^{\prime }}P(Y=y|X=x^{\prime },Z=z)P(X=x^{\prime })}}\end{array}$$

反事实

在完全一致的现实条件下，比较不同假设的结果，即反事实。反事实的表示为$Y_x$，表示在$X=x$的条件下，$Y$的取值。

给定结构因果模型，反事实计算分为三步

1. 用观测确定当前环境，即外生变量$U$的取值。
2. 用$X=x$替换$X$的定义，得到新的因果模型。(移除变量$X$出现在方程左边的情况，并用$X=x$替换）
3. 用新的因果模型计算$Y$的取值。

后门的反事实计算

$$P(Y_x=y)=\sum _{z}P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)$$