因果模型

因果模型是一种用于描述因果关系的模型，它可以用于预测和干预。因果模型的基本假设是，我们可以通过观察到的变量来推断未观察到的变量。

因果模型图是因果模型的一种可视化表示，它是一个有向无环图，其中节点表示变量，边表示因果关系，从一个变量指向另一个变量的边表示前者是后者的原因。

对因果模型图进行分析时：

对于一个节点而言，它的所有父节点都是它的直接原因，它的所有子节点都是它的直接结果；它的所有祖先节点都是它的间接原因，它的所有后代节点都是它的间接结果。
对于两个节点而言，如果它们通过一条边直接相连，那么它们互为因果；如果它们之间存在至少一条路径，那么通过引入更多的中间节点，它们可能互为因果。
对于三个节点而言，其中一个节点位于连接另外两个节点的路径上，那么通过控制该中间节点，可以控制另外两个节点之间的关系。

乘积分解法则

对于链结构而言，我们可以将联合概率分解为条件概率的乘积，即乘积分解法则。

\[P(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \prod_{i=1}^n P(x_i \vert pa(x_i))\]

其中\(pa(x_i)\)表示\(x_i\)的父节点。

考虑一个简单的例子，假设有三个变量\(X\)、\(Y\)和\(Z\)，它们之间的关系为\(X \rightarrow Y \rightarrow Z\)，那么有

\[P(X, Y, Z) = P(X)P(Y \vert X)P(Z \vert Y)\]

结构因果模型

结构因果模型用于描述数据的产生机制，包括：

外生变量集合\(U\)，它们是模型中的根节点，它们的值是由外部环境决定的，不依赖于模型中的其他变量。
内生变量集合\(V\)，它们是模型中的非根节点，它们的值是由模型中的其他变量决定的，即至少依赖于一个父节点。
确定内生变量取值的函数集合\(F\)，它们是模型中的边，它们的值是由父节点的值决定的，即它们是父节点的函数。

\[V = F\{U\}\]

因果模型图和独立性

以三个邻接的节点\(X\)、\(Y\)和\(Z\)为例，将三个节点直接相连，考虑边的方向，有三种情况：

链结构：\(X \rightarrow Y \rightarrow Z\)。
分叉结构：\(X \leftarrow Y \rightarrow Z\)。
对撞结构：\(X \rightarrow Y \leftarrow Z\)；也叫共因结构。

在独立性分析中，我们关注的是通过控制中间节点，是否可以推断出两个节点的独立性或依赖关系。通过下文的分析，我们可以得到如下结论：链结构和分叉结构中的独立性判断是类似的，而对撞结构中的独立性判断与它们不同。

链结构

在链结构中

\[X=F_X\{U_X\}\]
\[Y=F_Y\{X, U_Y\}\]
\[Z=F_Z\{Y, U_Z\}\]

给定\(Y\)，\(X\)和\(Z\)只受外生变量影响，故\(X\)和\(Z\)独立，记作\(X \perp Z \vert Y\)

graph LR
    id1["U{X}"] --> X
    X --> Y
    id2["U{Y}"] --> Y
    Y --> Z
    id3["U{Z}"] --> Z

分叉结构

在分叉结构中

\[X=F_X\{U_X\}\]
\[Y=F_Y\{X, U_Y\}\]
\[Z=F_Z\{X, U_Z\}\]

给定\(X\)，\(Y\)和\(Z\)只受外生变量影响，故\(Y\)和\(Z\)独立，记作\(Y \perp Z \vert X\)

graph LR
    id1["U{X}"] --> X
    id2["U{Y}"] --> Y
    X --> Y
    X --> Z
    id3["U{Z}"] --> Z

对撞结构

在对撞结构中

\[X=F_X\{U_X\}\]
\[Y=F_Y\{U_Y\}\]
\[Z=F_Z\{X, Y, U_Z\}\]

不给定额外信息，\(X\)和\(Y\)独立；给定\(Z\)，\(X\)和\(Y\)的关系内含于\(Z=F_Z\{X, Y, U_Z\}\)，故\(X\)和\(Y\)不独立，记作\(X \not\perp Y \vert Z\)

graph LR
    id1["U{X}"] --> X
    X --> Z
    id2["U{Z}"] --> Z
    id3["U{Y}"] --> Y
    Y --> Z

d-分离

\(d\)-分离是一种判断两个节点是否独立的方法，它是基于因果模型图的有向路径的概念的。在前文的讨论中，我们通过控制中间结点说明：控制中间节点后的链结构和分叉结构中的两个节点独立，而对撞结构中的两个节点不独立。

此处我们给出阻断的概念：一条路径会被一组节点\(Z\)阻断，当且仅当：

该路径中包含链结构或分叉结构，且该结构中的中间节点在\(Z\)中。
该路径中包含对撞结构，且该结构中的中间节点不在\(Z\)中。

我们可以将阻断的概念理解为：阻断了因果关系的传递，使得节点互相独立。如果一组节点\(Z\)阻断了节点\(X\)和\(Y\)之间的所有路径，那么\(X\)和\(Y\)在给定\(Z\)的条件下是\(d\)-分离的，记作\(X \perp_d Y \vert Z\)或\(X \perp Y \vert Z\)。

干预

干预是将变量固定为某个值，限制改变量的变化，等价于在因果模型中去除所有指向该变量的边。干预后的因果模型图称为干预模型图。

干预与条件的区别在于干预改变了系统本身，而条件只是改变了系统的观测。一般用条件概率表示因果效应

\[\begin{aligned} \text{干预 }& P(Y=y \vert do(X=x)) \\ \text{条件 }& P(Y=y \vert X=x) \end{aligned}\]

在只有观测数据时，我们只能从数据中估计干预操作的效果，称之为校正。校正公式描述了从观测数据中估计干预后的目标变量\(Y\)的概率分布

\[\begin{aligned} P(Y=y \vert do(X=x)) &= P(Y=y \vert X=x) \\ \text{全概公式 }&= \sum P(Y=y\vert X=x,Pa(X)=z)P(Pa(X)=z\vert X=x)\\ \text{独立性 }&= \sum P(Y=y\vert X=x,Pa(X)=z)P(Pa(X)=z) \end{aligned}\]

这里的\(Pa(X)\)表示\(X\)的父节点集合。

后门准则

后门准则应用于干预中\(X\)的父节点集合\(Pa(X)\)不可观测的情况，即试图找出一个可观测的变量集合\(Z\)，使得\(Z\)阻断了\(X\)和\(Y\)之间的所有伪因果路径。

给定因果模型图中的一对有序变量\((X, Y)\)和一组变量\(Z\)，如果满足以下条件：

\(Z\)阻断了\(X\)和\(Y\)之间的每条含有指向\(X\)的路径。（阻断\(X\)和\(Y\)之间的所有伪因果/后门路径）
\(Z\)中没有\(X\)的后代节点。（保持\(X\)到\(Y\)的因果路径不变）

则称\(Z\)满足关于\((X, Y)\)的后门准则。此时\(Z\)可以替代\(X\)的父节点集合\(Pa(X)\)，用于校正\(X\)的干预效果，即后门校正

\[P(Y=y \vert do(X=x)) = \sum_z P(Y=y\vert X=x, Z=z)P(Z=z)\]

前门准则

前门准则通过\(X\)到\(Y\)的中介变量估计因果效应。考虑因果模型图中的一对有序变量\((X, Y)\)和一组变量\(Z\)，如果满足以下条件：

\(Z\)切断了所有从\(X\)到\(Y\)的路径。（阻断\(X\)和\(Y\)之间的所有因果路径）
\(X\)到\(Z\)没有后门路径。（保持\(X\)到\(Z\)的因果路径不变）
所有\(Z\)到\(Y\)的后门路径都被\(X\)阻断。（保持\(Z\)到\(Y\)的因果路径不变）

则称\(Z\)满足关于\((X, Y)\)的前门准则。此时\(Z\)可以替代\(X\)的父节点集合\(Pa(X)\)和后门校正来校正\(X\)的干预效果，即前门校正

\[\begin{aligned} P(Y=y \vert do(X=x)) &= \sum_z P(Z=z\vert X=x)\sum_{x^{\prime}}P(Y=y\vert X=x^{\prime}, Z=z)P(X=x^{\prime}\vert Z=z) \\ &= \sum_z \underbrace{P(Z=z\vert X=x)}_{X\rightarrow Z} \underbrace{\sum_{x^{\prime}}P(Y=y\vert X=x^{\prime}, Z=z)P(X=x^{\prime})}_{X\text{后门校正}Z\rightarrow Y} \end{aligned}\]

反事实

在完全一致的现实条件下，比较不同假设的结果，即反事实。反事实的表示为\(Y_x\)，表示在\(X=x\)的条件下，\(Y\)的取值。

给定结构因果模型，反事实计算分为三步

用观测确定当前环境，即外生变量\(U\)的取值。
用\(X=x\)替换\(X\)的定义，得到新的因果模型。(移除变量\(X\)出现在方程左边的情况，并用\(X=x\)替换）
用新的因果模型计算\(Y\)的取值。

后门的反事实计算

\[P(Y_x=y) = \sum_z P(Y=y\vert X=x, Z=z)P(Z=z)\]