频率域滤波

频率域滤波是指在频率域上将滤波器\(H(u,v)\)乘以图像的傅里叶变换\(F(u,v)\)，得到\(G(u,v)\)，然后再将\(G(u,v)\)进行反傅里叶变换，得到滤波后的图像\(g(x,y)\)。

\[ g(x,y) = \Re\{\mathfrak{J}^{-1}\{H(u,v)F(u,v)\}\}(-1)^{x+y} \]

低通滤波器

理想低通滤波器

\[ H(u,v) = \begin{cases} 1 & \text{if } D(u,v) \leq D_0 \\ 0 & \text{if } D(u,v) > D_0 \end{cases} \]

其中\(D(u,v)\)表示频率域上的距离，\(D_0\)表示截止频率。

\[ D(u,v) = \sqrt{(u-\frac{M}{2})^2+(v-\frac{N}{2})^2} \]

理想低通滤波器包含的功率比例为：

\[ p_{D_0} = \frac{\sum_{D(u,v)\leq D_0} |F(u,v)|^2}{\sum_{u=0}^{P-1} \sum_{v=0}^{Q-1} |F(u,v)|^2} \]

高斯低通滤波器

二维频域上截止频率为\(D_0\)的高斯低通滤波器：

\[ H(u,v) = e^{-D^2(u,v)/2D_0^2} \]

这里显然是用\(D_0\)替代了标准差\(\sigma\)，因为\(D_0\)更容易理解。更一般的写法是：

\[ H(u,v) = e^{-D^2(u,v)/2\sigma^2} \]

如下是一维频域上的标准差为\(\sigma\)的高斯低通滤波器：

\[ H(u) = A e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}} \]

反求空间域的滤波器：

\[ \begin{aligned} h(x) &= \mathfrak{J}^{-1}\{H(u)\} \\ &= \mathfrak{J}^{-1}\{A e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}}\} \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} A e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}} e^{j2\pi ux} du \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} A e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}+j2\pi ux} du \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} A e^{-(\frac{u}{\sqrt{2}\sigma}-j\sqrt{2}\pi\sigma x)^2} e^{-2\pi^2\sigma^2x^2} du \\ &= Ae^{-2\pi^2\sigma^2x^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\frac{u}{\sqrt{2}\sigma}-j\sqrt{2}\pi\sigma x)^2} du \\ &= Ae^{-2\pi^2\sigma^2x^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(u-j2\pi\sigma^2x)^2} du \\ \text{令 }r=u-j2\pi\sigma^2x & \text{ 则 } u = r+j2\pi\sigma^2x\text{ ,} du = dr \\ &= A\sigma\sqrt{2\pi}e^{-2\pi^2\sigma^2x^2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}} dr \\ &= A\sigma\sqrt{2\pi}e^{-2\pi^2\sigma^2x^2} \\ \end{aligned} \]

巴特沃斯低通滤波器

\[ H(u,v) = \frac{1}{1+[D(u,v)/D_0]^{2n}} \]

越接近原点的频率越容易通过滤波器，\(n\)越大，越接近理想低通滤波器。

高通滤波器

频率域上的高通滤波器可以通过频率域上的低通滤波器得到，即：

\[ H_{hp}(u,v) = 1 - H_{lp}(u,v) \]

理想高通滤波器

\[ H(u,v) = \begin{cases} 0 & \text{if } D(u,v) \leq D_0 \\ 1 & \text{if } D(u,v) > D_0 \end{cases} \]

高斯高通滤波器

\[ H(u,v) = 1 - e^{-\frac{D^2(u,v)}{2D_0^2}} \]

巴特沃斯高通滤波器

\[ H(u,v) = \frac{1}{1+[D_0/D(u,v)]^{2n}} \]

注意巴特沃斯低通滤波器和高通滤波器的分母不同

频率域中的拉普拉斯

高阶偏导数算子的频率域形式为：

\[ \mathfrak{J}(\frac{\partial^nf}{\partial x^n}) = (j2\pi u)^nF(u) \]

对于二维傅里叶变换，其拉普拉斯算子的频率域形式为：

\[ \mathfrak{J}[\nabla^2f(x,y)] = (j2\pi u)^2F(u,v) + (j2\pi v)^2F(u,v) = -4\pi^2(u^2+v^2)F(u,v) \]

这里的\((u^2+v^2)\)就是频率域上的距离\(D(u,v)\)的平方，对应的频率域中心是\((0,0)\)，有时也可以替换为\((\frac{M}{2},\frac{N}{2})\)。我们将\(F(u,v)\)抽出，得到拉普拉斯算子在频率域对应的滤波器为：

\[ H(u,v) = -4\pi^2D^2(u,v) \]

对应的图像增强/锐化方法为：

\[ g(x,y) = f(x,y) + c\nabla^2f(x,y) \]

如果\(H(u,v)\)是负数，那么\(c=-1\)，与拉普拉斯核的中心系数的正负关系类似。

\[ \begin{aligned} g(x,y) &= \mathfrak{J}^{-1}\{F(u,v)-H(u,v)F(u,v)\} \\ &= \mathfrak{J}^{-1}\{F(u,v)(1+4\pi^2D^2(u,v))\} \\ \end{aligned} \]

频率域中的钝化掩蔽

空域的钝化掩蔽是从原始图像中减去一个平滑图像，从而得到边缘图像：

\[ g_{mask} = f(x,y) - (f\star h_{lp})(x,y) = f_{hp} \]

再将边缘图像加回到原始图像中，从而得到增强的图像：

\[ f_{hb} = (A-1)f(x,y) + g_{mask} = Af(x,y) - f\star h_{lp} \]

该模板可以理解为图像与高通滤波器卷积的结果，所以可以也可以用拉普拉斯算子来替代。

\[ f_{hb} = Af(x,y) - \nabla^2f(x,y) \]

对应的频率域中的钝化掩蔽为：

\[ \begin{aligned} F(u,v) &\Leftrightarrow f(x,y) \\ g_{mask}(x,y) &\Leftrightarrow [1-H_{lp}(u,v)]F(u,v) \\ f_{hb} &\Leftrightarrow [A-H_{lp}(u,v)]F(u,v) \\ \end{aligned} \]

选择性滤波

带阻滤波器和带通滤波器

低通滤波器和高通滤波器以截断频率\(D_0\)为界，分别将低于截断频率和高于截断频率的频率滤除，而带阻滤波器和带通滤波器则是在中心频率\(C_0\) (频带中心)附近滤除或保留一定带宽的频率。

理想带阻滤波器：

\[ H(u,v) = \begin{cases} 0 & \text{if } C_0-\frac{W}{2} \leq D(u,v) \leq C_0+\frac{W}{2} \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases} \]

高斯带阻滤波器：

\[ H(u,v) = 1 - e^{-\frac{[D(u,v)-C_0]^2}{2\sigma^2}} \]

这个滤波器的问题是\(D(u,v)=0\)时\(H(u,v)<1\)，对低频信号起到了抑制作用，所以我们可以将其改为修正高斯带阻滤波器：

\[ H(u,v) = 1 - e^{-\frac{1}{2}[\frac{D^2(u,v)-C_0^2}{D(u,v)W}]^2} \]

巴特沃斯带阻滤波器：

\[ H(u,v) = \frac{1}{1+[\frac{D(u,v)W}{D^2(u,v)-C_0^2}]^{2n}} \]

陷波滤波器

陷波滤波器假定两个对称的中心频率\((\frac{M}{2} + u_k, \frac{N}{2} + v_k)\)和\((\frac{M}{2} - u_k, \frac{N}{2} - v_k)\)，那么对应的距离为：

\[ \begin{aligned} D_k(u,v) &= \sqrt{(u- \frac{M}{2} - u_k)^2 + (v- \frac{N}{2} - v_k)^2} \\ D_{-k}(u,v)&= \sqrt{(u- \frac{M}{2} + u_k)^2 + (v- \frac{N}{2} + v_k)^2} \\ \end{aligned} \]

陷波滤波器的一般形式为：

\[ H(u,v) = \prod_{k=1}^{K} H_k(u,v)H_{-k}(u,v) \]

陷波带通滤波器可由\(1\)减去陷波带阻滤波器得到：

\[ H_{NP}(u,v) = 1 - H_{NR}(u,v) \]

在第二版教材中，作者给出了一个更简单的形式，只考虑两个中心频率，将频率点距离两个中心的距离重写为\(D_1(u,v)\)和\(D_2(u,v)\)，将半径重写为\(D_0\)。

理想陷波带阻滤波器：

\[ H(u,v) = \begin{cases} 0 & \text{if } D_1(u,v) \leq D_{0} \text{ or } D_{2}(u,v) \leq D_{0} \\ 1 & \text{otherwise} \end{cases} \]

阶数为\(n\)的巴特沃斯陷波带阻滤波器：

\[ H(u,v)=\frac{1}{1+[\frac{D_0^2}{D_1(u,v)D_2(u,v)}]^n} \]

高斯陷波带阻滤波器：

\[ H(u,v)=1-e^{-\frac{1}{2}[\frac{D_1(u,v)D_2(u,v)}{D_0^2}]} \]

其他用于图像复原的滤波器在此不再赘述，详见图像复原部分的内容。